В статье рассматриваются теоретические основы организации элективного курса «Углублённое изучение свойств и признаков делимости для 10 класса». Автор раскрывает цели, задачи указанного курса, его тематическое планирова-ние, виды задач на свойства и признаки делимости, основные этапы, методы их решения.

Ключевые слова: элективный курс, виды задач на свойства и признаки делимости, основные этапы и методы решения задач на свойства и признаки делимости.

The article examines the theoretical foundations of the organization of the elective course «In-depth study of properties and signs of divisibility for the 10th grade». The author reveals the goals, objectives of the specified course, its thematic planning, types of problems on properties and signs of divisibility, the main stages, and methods for solving them.

Keywords: elective course, types of problems on properties and signs of divisibility, the main stages and methods for solving problems on properties and signs of divisibility.

В современном российском образовании обращается особое внимание на обеспечение обучающихся, имеющих высокую мотивацию к изучению математики и проявляющих выдающиеся математические способности, всеми условиями для развития и применения этих способностей; на организацию углублённого изучения математики [1].

Углублённое изучение математики предполагает более глубокое, более доказательное и расширенное изучение предмета по сравнению с базовым уровнем, решение учащимися более сложных задач с целью развития логического мышления, математических способностей, подготовки к поступлению в вуз и дальнейшему успешному обучению в вузе.

Углублённое изучение математики может быть полезно для тех, кто интересуется математикой, планирует связать карьеру с математикой, физикой, инженерией, информатикой, экономикой, финансами и другими науками, где математика играет важную роль; или для тех, кто хочет развить свои интеллектуальные способности, абстрактное мышление, умения логически рассуждать, строить доказательства, делать выводы.

Исследователи, такие как Рослова Л. О., Алексеева Е. Е., Буцко Е. В., Карамова И. И., отмечают, что углублённое изучение математики в школе зародилось еще в 1960-х годах. Его целью было обеспечение учащихся, проявляющих способности и интерес к математике, возможностью получать математическое образование на более высоком уровне. «По сути, это было воспитание будущей элиты математической науки. Поэтому программа была рассчитана на творческий уровень изучения предмета, для начала такого обучения был выбран 8 класс, как возраст, когда учащиеся начинают проявлять осознанный интерес к математике, уже начав изучение систематических курсов алгебры и 9 геометрии. Для программы углубленного изучения были разработаны соответствующие учебники, а также проводился и отдельный экзамен, причем разрабатывались отдельные варианты для математических и для физико-математических классов. Появление физико-математических классов стало отражением потребности в математической подготовке высокого уровня будущих специалистов в области теоретический физики, инженерных дисциплин, а также прикладных математических дисциплин, в частности, программистов» [5].

В обновленном ФГОС основного общего образования «…было реализовано новое понимание базового и углубленного уровней изучения математики, дано соответствующее этому распределение между ними требований к математической подготовке выпускника основной школы» [5, 6]. Согласно программе, соответствующей обновленному ФГОС ООО, углубленное изучение математики начинается с 7-го класса. «Это важное нововведение, причина которого обусловлена тем, что современный уровень развития науки и техники требует серьезного уровня математической подготовки для значительно большего числа специалистов, чем ранее» [5, 6].

Существуют различные форматы углубленного изучения математики: школы и классы с углублённым изучением математики; элективные курсы, факультативы, кружки, онлайн-курсы, дополнительные занятия по углублённому изучению математики.

Согласно ФГОС, учащиеся 9-11 классов могут изучать не только базовые и профильные, но и элективные учебные курсы.

Элективный курс – это обязательный для посещения курс по выбору учащихся, организуемый для углубленного изучения какого-либо предмета, предпрофильной или профильной подготовки, подоготовки к ЕГЭ, а также удовлетворения индивидуальных образовательных интересов учащихся [3].

Элективные курсы по математике позволяют изучить отдельные разделы математики, выходящие за рамки школьной программы. Они служат «надстройками» курса математики, поддерживают предмет математики, изучаемый на базовом или профильном уровне [3].

По содержанию можно выделить следующие элективные курсы по математике:

– предметные (углубленное изучение отдельных разделов математики);

– межпредметные (связь математики с другими областями знаний);

– надпредметные (развитие общих интеллектуальных компетенций, таких как логическое мышление, алгоритмическое мышление, умение решать задачи);

– ориентационные (подготовка математическим олимпиадам, к сдаче ЕГЭ по математике, к поступлению в вуз).

В соответствии с тем, что Комплексный план мероприятий по повышению качества математического и естественно-научного образования на период до 2030 года предусматривает разработку образовательными организациями методических материалов для углублённого и профильного изучения математики, физики, химии и биологии [1], нами разработано содержание занятий по элективному курсу «Углублённое изучение свойств и признаков делимости» в 10 классе, который является, на наш взгляд, одним из важных ресурсов повышения качества школьного математического образования.

Элективный курс «Углублённое изучение свойств и признаков делимости», организованный в 10 классе, нацелен на удовлетворение интересов учащихся в дополнительном изучениии математики, помощь учащимся в подготовке к участию в математических олимпиадах разного уровня, а также в подготовке к ЕГЭ.

Изучение элективного курса «Углублённое изучение свойств и признаков делимости», направлено на достижение следующих целей:

– расширение и углубление знаний учащихся о свойствах и признаках делимости;

– формирование опыта работы учащихся на повышенном уровне сложности;

– развитие интереса к математике через изучение материала и решение задач повышенной сложности;

– интеллектуальное развитие учащихся, а именно, развитие их логического, математического мышления, алгоритмической культуры, умений строить математические доказательства.

Тематическое планирование элективного курса «Углублённое изучение свойств и признаков делимости» приведено в приложении 1.

На занятиях элективного курса «Углублённое изучение математики» при изучении модуля «Свойства и признаки делимости» используются следующие образовательные технологии:

– технология коллективной работы (организация коллективного решения задач позволяет учащимся обмениваться идеями, объединять усилия и решать более сложные задачи);

– технологии сотрудничества и взаимного бучения (учащиеся подбирают интересные задания на свойства и признаки делимости и на уроке представляют их классу, делают разбор и обогащают новыми знаниями и умениями одноклассников);

– групповые технологии (работа в парах, группах способствует созданию для учащихся комфортных условий для взаимодействия в обучении, их сотрудничеству, проявлению взаимопомощи, поддержки, ситуаций успеха);

– технологии уровневой дифференциации (учащимся могут предлагаться задания и задачи разного уровня сложности);

– исследовательские технологии (исследовательский подход при решении математических задач развивает у учащихся навыки самостоятельного мышления);

– технологии развития творческих способностей (учащимся могут быть предложены такие задания, как самостоятельное доказательство учащимися частных признаков делимости, самостоятельный вывод частных признаков делимости из общего признака делимости Паскаля);

– технологии проблемного обучения (например, задачи на свойства и признаки делимости позволяют создавать проблемные ситуации на уроке и стимулировать мыслительную деятельность учащихся по их решению);

– компьютерные технологии обучения (учащимся могут предлагаться задания на поиск в интернете материала и задач на те или иные свойства или признаки делимости с дальнейшим представлением их классу на занятиях по элективному курсу).

Занятия элективного курса «Углублённое изучение математики» по изучению модуля «Свойства и признаки делимости» проводятся в различных формах:

– лекция;

– комбинированное занятие с изучением теории и практикой;

– практикум;

– занятие-форум.

Остановимся подробнее на таком формате, как занятие-форум. Это форма учебного занятия, в которой учащиеся активно обсуждают предложенную тему или задачу, обмениваются мнениями, аргументируют свою позицию и вырабатывают общие выводы. Эта форма обучения основана на принципах сотрудничества и диалога. Для занятия-форума характерны активное участие школьников в обсуждении, коллективное решение задач, развитие коммуникативных навыков. Учитель при этом выступает в роли модератора, направляя обсуждение и помогая разобраться в рассматриваемом материале или задаче.

Примером занятия-форума в рамках элективного курса «Углублённое изучение математики» является занятие по теме «Задачи ЕГЭ базового и профильного уровня на свойства и признаки делимости».

Можно выделить несколько видов заданий(задач) для решения на занятиях элективного курса «Углублённое изучение свойств и признаков делимости»:

– задания на доказательство или опровержение делимости, проверяющие знание и применение свойств делимости;

– задания на доказательство или опровержение делимости, проверяющие знание и применение признаков делимости;

– задания на применение комбинации свойств и признаков делимости;

– задания на нахождение неизвестного в числе или определение вида числа, удовлетворяющего определённым условиям делимости;

– задание на делимость составного числа или выражения, требующее разложения делимого на множители и применения к ним свойств и признаков делимости;

– задания на проверку делимости на составное число, требующие разложения делителя на множители и применения теоремы о делимости на составное число;

– задания на доказательство делимости с использованием метода математической индукции;

– задания на делимость, решаемые с использованием общего признака делимости Паскаля;

– задания на делимость, решаемые с использованием малой теоремы Ферма.

Для успешного выполнения заданий и решения задач по математике на свойства и признаки делимости, необходимо знать и уметь применять основные свойства и признаки делимости, а также понимать, как они связаны с разложением чисел на множители. Решение таких задач обычно включает:

1) определение, на что нужно проверить делимость числа;

2) применение соответствующего свойства и признака делимости;

3) если необходимо, разложение на множители числа, делимость на которое проверяется, и дальнейшая проверка делимости с использованием признаков;

4) если необходимо, использование математических операций для упрощения и преобразования выражений;

5) если необходимо, представление числа в виде суммы разрядных слагаемых. В некоторых задачах требуется внимательный осмотр числа и выбор цифр так, чтобы они удовлетворяли нужным признакам делимости [2, 4].

Если детализировать процесс решения задач на свойства и признаки делимости, то можно, на наш взгляд, выделить следующие этапы решения:

Первый этап – ознакомление с условием задачи, анализ условия задачи. Необходимо помочь учащимся выделить явные и неявные данные, требование задачи, определить известные и искомые объекты, выделить отношения (зависимости) между ними. Для этого можно использовать уточняющие вопросы или эвристическую беседу по тексту задачи.

Второй этап – поиск идеи (плана). Необходимо соотнести условие и требование задачи с имеющимися у учащихся знаниями и умениями; провести анализ числа или выражения с целью выявления возможности использования свойств и признаков делимости; определить, какие свойства, признаки делимости связаны с задачной ситуацией; наметить последовательность действий. Необходимо также уточнить является ли заданное число простым или требуется разложение на множители заданного числа (выражения) для установления его делимости; требуется ли применение к делителю теоремы о делении на составное число.

Поиск плана решения может осуществляться аналитическим или синтетическим путем. Учителю целесообразно организовать с учащимися разбор задачи в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как от данных задачи, так и от ее вопросов.

Третий этап – реализация плана решения задачи и осуществление решения с использованием математического языка. Необходимо осуществить перевод информации, содержащейся в тексте задачи из словесной формы в символьную с использованием математического языка, если необходимо сконструировать математическую модель задачной ситуации. Далее применить необходимые свойства и признаки делимости к задачной ситуации, провести обобщение и сделать выводы.

Четвертый этап решения задачи на свойства и признаки делимости – проверка решения. Проверка решения помогает выяснить, согласуется ли найденный ответ с заданным условием.

Пятый этап – рефлексия (ретроспективный анализ) деятельности по решению задачи. На этом этапе возможно выделение использованных при решении задачи элементов знаний, приемов; сопоставление данной задачи с решенными ранее, выявление общих закономерностей их решения; определение возможностей решения задачи другими способами.

На практике чаще всего эти этапы решения задач на свойства и признаки делимости сворачиваются или какие-то из них упускаются.

Методы решения задач на делимость могут быть разными. Основной метод заключается в проверке признаков делимости. Ещё один метод решения задач на делимость заключается в применении свойств делимости для доказательства или опровержения делимости. Во многих задачах используются и свойства, и признаки делимости. Ряд задач решается методом преобразования числовых или буквенных выражений до такого вида, когда к полученному выражению можно применить свойства делимости. Некоторые задачи на делимость решаются с помощью метода математической индукции, ряд задач хорошо решается с использованием общих признаков делимости – признака делимости Паскаля или малой теоремы Ферма.

Кроме того, в задачах на делимость часто используются методы:

– подбора;

– перебора;

– анализа;

– синтеза;

– контрпримера;

– от противного;

– математического моделирования;

– оценка плюс пример.

Примеры применения некоторых из указанных методов в решении задач на свойства и признаки делимости приведены в приложении 2.

Разработанный нами элективный курс «Углублённое изучение свойств и признаков делимости» для 10 класса имеет также следующие методические особенности:

– рассматриваемый элективный курс может быть организован как для учащихся профильных классов, так и для углубления знаний способных учащихся, изучающих математику на базовом уровне;

– предлагаемый элективный курс содержит материал, позволяющий учащимся лучше подготовиться к решению задач на свойства и признаки делимости на математических олимпиадах и ЕГЭ, чего нет в содержании ранее опубликованных элективных курсов по этой теме;

– элективный курс, с одной стороны, посвящён узкой теме – свойствам делимости и признакам делимости, с другой стороны, его изучение покажет учащимся, какая глубокая математика и красивая математическая теория скрыта в двух математических терминах;

– элективный курс «Углублённое изучение свойств и признаков делимости» относится к краткосрочным, рассчитан на одно полугодие 10 класса (1 занятие в неделю);

– в условиях дефицита учебного времени на изучение свойств и признаков делимости в 5-6 классах (всего по 2 урока в каждом классе) задачи предлагаемого элективного курса могут выкладываться на сайте учителя для организации самообразовательной работы учащихся старших классов по математике.

Таким образом, мы рассмотрели ряд методических особенностей элективного курса «Углублённое изучение свойств и признаков делимости» в 10 классе, которые следует учитывать при его организации. Еще раз отметим, что элективный курс нацелен на формирование у школьников опыта решения задач повышенной сложности, а также может использоваться для самообразования в условиях дефицита учебного времени.

Литература

1. Распоряжение Правительства Российской Федерации от 19 ноября 2024 г. №3333-р «Об утверждении комплексного плана мероприятий по повышению качества математического и естественно-научного образования на период до 2030 года». – Электронный ресурс. — URL: https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_491375/ (дата обращения: 12.05.2026).
2. Зайцев, А. А. Признаки делимости натуральных чисел / А. А. Зайцев, Р. Г. Плотникова. — Текст: непосредственный // Юный ученый. — 2021. — № 11 (52). — С. 27-38. – Электронный ресурс. — URL: https://moluch.ru/young/archive/52/2691 (дата обращения: 12.05.2026).
3. Зизиева, Н. И. Элективные курсы в профильном математическом образовании / Н. И. Зизиева. — Текст: непосредственный // Молодой ученый. — 2023. — № 18 (465). — С. 239-242. – Электронный ресурс. — URL: https://moluch.ru/archive/465/102362 (дата обращения: 12.05.2026).
4. Панюшкин С.В., Козичева Л.М. Делимость чисел в курсе алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики. Методическая разработка - Орел: ОГУ имени И. С. Тургенева, 2018. – 56с.
5. Рослова Л. О., Алексеева Е. Е., Буцко Е. В., Карамова И. И. Математика (углубленный уровень). Реализация требований ФГОС основного общего образования: методическое пособие для учителя / под ред. Л. О. Рословой. – М.: ФГБНУ «Институт стратегии развития образования РАО», 2022. – с. 135.
6. Федеральный государственный образовательный стандарт
   основного общего образования. – Электронный ресурс. – URL: https://base.garant.ru/401433920/53f89421bbdaf741eb2d1ecc4ddb4c33/ (дата обращения: 12.05.2026).

Приложение 1

Таблица 1

Тематическое планирование элективного курса «Углублённое изучение свойств и признаков делимости»